加害者が任意保険に加入しているかどうか、調べることはできますか？

調べるための制度は、とくにはありません。

もっとも、加害者が任意保険に入っている場合、保険会社との契約で、示談代行がなされるという内容になっているのが普通です。ですから、あなたが加害者に損害賠償を請求すると、加害者は、任意保険会社から損害賠償を払ってもらうために任意保険会社に連絡をしますので、任意保険会社の担当者が、あなたに連絡をしてくることになります。