交通事故の治療費は、誰が支払う形になるのでしょうか？

交通事故の態様や過失割合に大きな争いがない場合には、加害者側の任意保険会社が病院に対して直接支払ってくれることが多いです（任意一括対応）。
加害者が任意保険に入ってないなどで、任意一括対応を受けられないことがあります。その場合、被害者がいったん立替払いをして、あとから加害者側に支払請求をしていくこととなります。

なお、ご自身の任意保険に人身傷害特約が付いている場合には、任意保険会社が立替払いをしてくれる場合もあります。確認してみるとよいでしょう。