事故に遭ったのが駐車場内でした。 駐車場の管理者に、損害賠償を請求できないのでしょうか？

請求は一般的には容易ではありませんが、駐車場の設備管理に落ち度があり、交通事故が常時発生するようなずさんな駐車場の管理状態であった場合には、請求できる可能性があります。
一時停止規制や速度規制等の必要な措置を講じておらず、一般利用者が相当な注意を払って車の運転をしていても、事故が起きることが必然であるような管理体制であった場合には、駐車場の管理者としてなすべき義務を果たしていなかったとして、請求できる場合があります。