労働審判を申し立てた場合、かかった弁護士費用も相手の会社に請求できますか？

残念ながら、弁護士費用を相手方に請求することはできません。
ただし、不法行為による損害賠償請求（たとえば、交通事故）の場合は、例外的に弁護士費用も損害として請求することが許されています。そのため理論的には、労働審判において、労働関係の請求と併せて不法行為に基づく損害賠償を請求していくのであれば、相手方に弁護士費用を請求できることになります。

もっとも、労働審判で主に争われるのはあくまで労働問題ですから、労働審判において弁護士費用まで請求しているケースはあまりありません。