労働審判は非公開で行われますので、基本的に、労働審判を申し立てたことを第三者に知られることはありません。
ただし、ご自身で労働審判を申し立てた場合、裁判所や相手方から届く書類は、そのままだと当事者の自宅住所に送られてくることになるので、送達場所を別途指定するなど家族に知られないための工夫が必要です。
また、会社が弁護士をつけていない場合、相手方である会社に労働審判に関する書面が送達されることになっていますし、労働審判の場には、社長や役員のみならず上司なども出席することがありますので、完全に秘密にしておくことは難しいでしょう。
なお、労働審判の結果も、第三者に公開されるものではありません。会社の人が言いふらすのが心配であれば、和解の際に弁護士が「労働審判の経緯や内容について口外しない」との条項を入れさせるなどして、ご家族や同僚の方に知られるリスクを減らすこともできます。