規定で休憩時間はありますが、まったく休憩が取れません。これは違法ではありませんか？また、休憩時間に働いた分の賃金を請求することはできますか？

違法の可能性があります。会社は、労働者の労働時間が6時間を超える場合には少なくとも45分、8時間を超える場合には少なくとも1時間の休憩をさせる義務があります（労働基準法第34条）。また、会社には労働者が休憩していない時間の賃金を支払う義務がありますので、休憩時間に働いた分の賃金を請求することは可能です。請求の際には専門知識や経験が必要となりますので、弁護士にご相談ください。