労働トラブルを争うことで、次の会社への転職の際に不利になることは基本的にはありません。
自社に労働問題のトラブルがあるというのは会社にとってはイメージダウンに繋がる事実です。したがって、通常、会社は労働トラブルがあること自体を第三者に話したがらない傾向にあるため、労働トラブルで争っていることが転職先の会社に伝わらないことのほうが多いです。また、ご自身で転職先の会社に前の会社に対して残業代請求等をしていると話す必要もありません。
弁護士に依頼することで、あなたと退職した会社の間で残業代請求等に関するやり取りを直接する必要はなくなります。退職した会社から転職先の会社に対して、残業代請求等の前職との労働トラブルの件で連絡があることも、基本的にはありません。
なお、3年間の時効期間が設けられている残業代請求等、請求に時間的な制限がある場合もありますので、転職前であっても、問題が発覚した際にはすぐに動き出すことが重要です。