家族の運転する車に乗っていて事故にあい、ケガをしました。家族に賠償金を請求することはできますか？

できます。
家族であっても、運転者の過失でケガをした場合は、民法上の不法行為（民法709条）などに基づいて損害賠償を請求できます。
もっとも、任意保険の「対人賠償」において、配偶者や子どもなど家族が補償対象外となる場合があります。
その場合も、自分や家族が加入している保険に「人身傷害補償保険」や「搭乗者傷害保険」が付帯していれば、それを使うことで、治療費や慰謝料相当額を受け取れる可能性があります。