損害賠償の一部について、先に請求することはできないのでしょうか？

相手方の自賠責保険会社に対して、一部仮渡金として請求することができます。
あるいは、任意保険会社に対して、最終的な示談に先立って、損害賠償金の一部を前払いしてもらうように請求していくことも考えられます（このような請求を「内払請求」といいます）。自賠責保険のほうは、要件さえ満たせば、比較的緩やかに支払いをしてくれます。しかし、内払請求については、保険会社が容易に認めないケースが多く、法的な強制もできないため、粘り強く交渉をすることにより、内払いを認めてもらうこととなります。