家族が交通事故にあい、後遺症が残ったことで将来を悲観して自殺してしまいました。損害賠償を請求できますか？

請求できる可能性はありますが、自殺した原因が事故にあること（因果関係）を証明する必要があり、因果関係を証明することができない場合には、残念ながら死亡慰謝料や逸失利益（自殺しなければ得られたはずの収入等）を請求することはできません。
また、因果関係を証明することができたとしても、本人の精神状態が寄与したとして、相応の減額がなされる可能性があります。